四柱HanoiTower----是甜蜜还是烦恼

我想很多人第一次学习递归的时候，老师或者书本上可能会举汉诺塔的例子。

但是今天，我们讨论的重点不是简单的汉诺塔算法，而是三柱汉诺塔的延伸。先来看看经典的三柱汉诺塔。

一、三柱汉诺塔（Hanoi_Three）：

我想大家对于三柱汉诺塔的理解以及算法的实现应该是很熟练了。

我在这里简单的过一遍三柱汉诺塔的算法思想：

有A、B、C三根柱子，A柱上有n个盘子，现在需要将A上所有的盘子转移到C上，请给出搬运次数最少的步骤。

算法思想：

1、将A上n-1个盘子以C为缓存，全部转移到 B 柱上。

2、将A上留下的第n个盘子，直接转移到 C 柱上。

3、将B上的n-1个盘子，以A为缓存，全部转移到 C 柱上。

很容易得到算法的递归方程为：T(n)=2*T(n-1)+1，不难算出步数是T(n)=2^n-1。

具体的代码如下：

void Move( char x, char y )
{
	printf("%c --> %c\n", x, y);	//打印路径，x-->y
}

void Hanoi_Three( int n, char a, char b, char c )
{
	if( n <= 0 )
		return ;	
	
	step++;		//步骤+1
	
	if( n == 1 )
	{
		Move( a, c );	//将a柱上的一个盘子直接移动到c柱
		return ;	
	}
	else
	{
		Hanoi_Three( n-1, a, c, b);		//将a上n-1个盘子以c为缓存，全部转移到 b 柱上
		Move( a, c );					//将A上留下的第n个盘子，直接转移到 C  柱上
		Hanoi_Three( n-1, b, a, c);		//将b上的n-1个盘子，以a为缓存，全部转移到 c 柱上
	}
}

二、四柱汉诺塔（Hanoi_Four）：

当柱子为四根时，对于只是将盘子全部转移到另一根柱子上这个目的来说，是大大降低了难度，而且算法的复杂度也大大降低了。但是，这个时候，如果要你找到一个最优的、步骤最少的实现方法，可以说难度是提升了一个数量级。

有些人可能会质疑，为什么，我用三柱汉诺塔的思想不是很优化了吗？

别急，且让我慢慢向你道来。

先来看看这种‘看上去很合理’的解法：

假设，A，B，C，D，分别为：源位置，缓存，缓存，目的位置。

因为三柱的时候，我们是将A的前n-1个盘子放到B上缓存，然后将第n个盘子放到C柱上。

现在的情况好很多，有两个可以缓存的柱子，因此，看上去移动起来更加方便，原来B上需要缓存的n-1个盘子，现在可以只是n-2个盘子，而将第n-1个盘子放到C上缓存。

具体的流程如下（非最优解法）：

1、从A借助C、D将 n-2个盘子移动到B上。

2、将第n-1个盘子移动到C上。

3、将第n个盘子移动到D上。

4、将第n-1个盘子移动到D上。

5、从B借助A、C将 n-2个盘子全部移动到D上。

看上去，非常完美，笔者也一度觉得这个思想没有破绽，甚至我还自以为找到了k根柱子汉诺塔的通用方法（想当然的将B柱上缓存的数量从n-2个，改为n-（k-2）个盘子）。直到我看了这篇文章：多柱汉诺塔最优算法设计探究。

虽然我们想到让盘子尽量不发生重叠来保证步数的最少，但是这并不能绝对保证。或许在盘子较少的情况下是可行的，但是盘子增多时，那些多余的只有一个盘子的柱子是可以加以利用的（可能的优化在这里）。虽然这么做加多了每次的移动步数，但是却从另一个侧面减少了递归的数量，因此我们需要从这里边找一个平衡点。

下面我们来看看，1941年，美国的J. S. Frame，给出的四柱汉诺塔的算法思想，也叫Frame算法：

1、用4柱汉诺塔算法把A柱上部分的n- r个碟子通过C柱和D柱移到B柱上【F( n- r )步】。

2、用3柱汉诺塔经典算法把A柱上剩余的r个碟子通过C柱移到D柱上【2^r-1步】（参照上述三柱时的情况）。

3、用4柱汉诺塔算法把B柱上的n-r个碟子通过A柱和C柱移到D柱上【F(n-r)步】。

4、依据上边规则求出所有r（1≤r≤n）情况下步数f(n)，取最小值得最终解。

因此Frame算法的递归方程如下：

F(n)=min(2*F(n-r)+2^r-1)，（1≤r≤n）。

大家有没有发现，其实，这个算法思想跟我们之前认为合理的算法基本一致，差别只是在于他将我们的n-2个碟子缓存到B上，改为了将n- r个碟子转移到B柱上。

差别即使核心，这个算法的核心，就是计算n个盘子的情况下，r为何值时，能够使得算法最优。

找到了核心，我们现在的任务就明确了，就是对r值的计算。

这里给出了一个较笨的方法--枚举（不知道各位有没有其他方法）。就是将一定范围内的n与r的所有取值带入，得到满足F（n）为最小值的r的值，记为K[n] = r；

具体的代码如下：

void Init_K(void )
{
	int i, k;	
	__int64 temp;	
	__int64 m[Max+1] = {0};		
	
	for( i = 1; i <= Max; i++ )
	{
		m[i] = INT_MAX;		
		for( k = 1; k <= i; k++ )
		{
			temp = 2*m[i-k] + (__int64)pow(2,k) - 1;	
			if( temp < m[i] )
			{
				m[i] = temp;	
				K[i] = k;	
				//printf("K[%d] = %d, m[i] = %d\n", i, k, temp );	
			}
		}
	}
}

得到各个n对于的r之后，算法将变的非常简单，具体实现如下：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define Max 100	
#define INT_MAX 0xfffffffffffffff
int K[Max+1] = {0};	
int step = 0;	

void Hanoi_Four( int n, char a, char b, char c, char d );	
void Hanoi_Three( int n, char a, char b, char c );	
void Move( char x, char y );	

void Move( char x, char y )
{
	printf("%c --> %c\n", x, y);	//打印路径，x-->y
}

void Hanoi_Three( int n, char a, char b, char c )
{
	if( n <= 0 )
		return ;	
	
	step++;		//步骤+1
	
	if( n == 1 )
	{
		Move( a, c );	//将a柱上的一个盘子直接移动到c柱
		return ;	
	}
	else
	{
		Hanoi_Three( n-1, a, c, b);		//将a上n-1个盘子以c为缓存，全部转移到 b 柱上
		Move( a, c );					//将A上留下的第n个盘子，直接转移到 C  柱上
		Hanoi_Three( n-1, b, a, c);		//将b上的n-1个盘子，以a为缓存，全部转移到 c 柱上
	}
}

void Hanoi_Four( int n, char a, char b, char c, char d )
{
	if( n <= 0 )
		return ;	
	
	if( n == 1 )
	{
		step++;	
		Move( a, d );	
		return ;	
	}
	else
	{
		int kn = K[n];	
		//printf("kn = %d\n", K[n]);	
		Hanoi_Four( n-kn, a, c, d, b );		//用4柱汉诺塔算法把A柱上部分的n- kn个碟子通过C柱和D柱移到B柱上
		Hanoi_Three( kn, a, c, d );			//用3柱汉诺塔经典算法把A柱上剩余的kn个碟子通过C柱移到D柱上。
		Hanoi_Four( n-kn, b, a, c, d );		//用4柱汉诺塔算法把B柱上的n-r个碟子通过A柱和C柱移到D柱上
	}
}

void Init_K(void )
{
	int i, k;	
	__int64 temp;	
	__int64 m[Max+1] = {0};		
	
	for( i = 1; i <= Max; i++ )
	{
		m[i] = INT_MAX;		
		for( k = 1; k <= i; k++ )
		{
			temp = 2*m[i-k] + (__int64)pow(2,k) - 1;	
			if( temp < m[i] )
			{
				m[i] = temp;	
				K[i] = k;	
				//printf("K[%d] = %d, m[i] = %d\n", i, k, temp );	
			}
		}
	}
}

int main()
{
	int n;	
	Init_K();	

	printf("Please enter the number of the Plates: \n");
	while( scanf("%d", &n) != EOF )
	{
		step = 0;	
		Hanoi_Four( n, 'A', 'B', 'C', 'D' );	
		//Hanoi_Three( n, 'A', 'B', 'C' );	
		printf("**************************\nTotal Step: %d\n", step );	

		printf("Please enter the number of the Plates: \n");
	}
	
	return 0;	
}

到这里，四柱汉诺塔的算法基本讲完了。

有兴趣的同学，可以继续归纳多柱汉诺塔的实现方法，欢迎交流指导！

很多时候，看似合理的背后，其实是一种思维定势。。。

--------------------------by-----------cyh24----------2012年10月5日22:54:17